Question

如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，DA=DB，點E是BC的中點，DE與AB相交于點G．
(1)求證DE⊥AB；
(2)如果∠FCB=∠FBC=∠DAB，設(shè)DF與BC交于點H，求證：DH=FH．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：（1）欲證明DE⊥AB，只需推知AE=BE即可；
（2）欲證明DH=FH，需要證得四邊形BDEF是平行四邊形．
（1）如圖，連接AE．

∵∠BAC=90°，BE=EC，
∴AE=BE=BC．
又∵DA=DB，
∴DE垂直平分AB，即DE⊥AB；
（2）∵∠DBC=90°
∴∠DBA+∠ABC=90°
∵DA=AB，∴∠DBA=∠DAB，
∵∠FBC=∠DAB
∴∠FBC+∠ABC=90°
∵∠AGE=90°
∴BF∥DE．
又∵∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC
∵BE=EC，∴FE⊥BC
∴∠DBE=∠BEF=90°
∴DB∥EF，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
∴DH=FH．