Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．
其中正確的結論有

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個

Answer 1

B

解析試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°。
∵在△APE和△AME中，，
∴△APE≌△AME。故①正確。
∴PE=EM=PM。
同理，FP=FN=NP。
∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE。
∴四邊形PEOF是矩形。∴PF=OE。∴PE+PF=OA。
又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC。故②正確。
∵四邊形PEOF是矩形，∴PE=OF。
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，∴PE²+PF²=PO²。故③正確。
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是。故④錯誤；
∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形，
∴PM=PN。
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P時AB的中點。故⑤正確。
綜上所述，正確的結論有①②③⑤四個。故選B。