Question

【題目】（1）（問題解決）已知點在內，過點分別作關于、的對稱點、.

①如圖1，若，請直接寫出______；

②如圖2，連接分別交、于、，若，求的度數；

③在②的條件下，若度（），請直接寫出______度（用含的代數式表示）.

（2）（拓展延伸）利用“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”這個結論，解答問題：如圖3，在中，，點是內部一定點，，點、分別在邊、上，請你在圖3中畫出使周長最小的點、的位置（不寫畫法），并直接寫出周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）【問題解決】①；②；③；（2）【拓展延伸】如圖，見解析；周長最小值為8．

【解析】

（1）①連接OP，由點P關于直線OA的對稱點，點P關于直線OB的對稱點，可得，，再由+=2（+）=2,即可求得∠AOB的度數；②由，根據三角形的內角和定理可得；由軸對稱的性質得，，，再由三角形外角的性質可得，，所以，即可求得；由軸對稱的性質可得，由四邊形的內角和為360°即可求得； ③類比②的方法即可解答；（2）作點P關于邊AB的對稱點，再作點P關于邊AC的對稱點 ，連結，分別交AB、AC于點E、F，此時的周長最小，最小為的長，由①的方法求得∠A=60°，A=A，再由“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可判定△A是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得=AP=8，由此即可得周長最小值為8．

（1）①連接OP，

∵點P關于直線OA的對稱點，點P關于直線OB的對稱點，

∴，，

∴+=2（+）=2,

故答案為：50°；

②如圖2，

∵，

∴，

由軸對稱的性質得，，，

∵，，

∴，

∴，

由軸對稱的性質得，，

∴；

③.

如圖2，

∵，

∴，

由軸對稱的性質得，，，

∵，，

∴，

∴，

由軸對稱的性質得，，

∴=；

故答案為：；

（2）如圖所示，的周長最小，周長最小值為8．

①畫點P關于邊AB的對稱點，

②畫點P關于邊AC的對稱點 ，

③連結，分別交AB、AC于點E、F，

此時的周長最小，周長最小值為8．