Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，直徑GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延長線相交于E．
（1）求證：∠OAD=∠E；
（2）若OD=1，DE=3，試求⊙O的半徑；
（3）當是什么類型的弧時，△CED的外心在△CED的外部、內部、一邊上．（只寫結論，不用證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形CDE和AOD中已經有一組對頂角，那么我們可通過證明它們的外角∠AOG和∠ACB相等來證∠OAD=∠E．根據垂徑定理我們不難得出弧AG=弧BG，那么根據圓周角定理我們不難得出∠AOG=∠ACB，由此可得證．
（2）我們可通過構建與OE，OD和圓的半徑相關的相似三角形進行求解．連接OC，那么只要證明三角形ODC和OEC相似，即可得出關于上述三條線段的比例關系，從而求出半徑，那么關鍵是正這兩個三角形相似，已知了一個公共角，我們通過等邊對等角可得出∠OAC=∠OCA，又由（1）的結果，便可得出∠OCA=∠E．由此就能證出這兩三角形相似，得出OD，OE，OC三條線段的比例關系式后即可求出OC即圓的半徑．
（3）其實就是看∠ACB的度數，如果∠ACB是個鈍角（弧AGB是優弧）那么點O在三角形外部，如果∠ACB是個銳角（弧AGB是劣弧），那么點O在三角形內部，如果∠ACB是個直角（弧AGB是個半圓），那么點O在AB上．
解答：（1）證明：連接OB，
∵GH⊥AB，
∴．
∴∠AOG=∠GOB=∠AOB．
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠AOG=∠ACB．
∴∠AOD=∠DCE．
又∠ADO=∠CDE，
∴∠OAD=∠E．

（2）解：連接OC，則∠OAD=∠OCA，
∵∠OAD=∠E，
∴∠OCD=∠E．
∵∠DOC=∠COE，
∴△OCD∽△OEC．
∴=．
∴OC²=OE•OD=（1+3）×1=4．
∴OC=2．
即⊙O的半徑為2．

（3）解：當是劣弧時，△CED的外心在△CED的外部；
當是半圓時，△CED的外心在△CED的邊上；
當是優弧時，△CED的外心在△CED的內部．
點評：本題主要考查了三角形的外心，圓周角定理，相似三角形的判定和性質等知識點．