Question

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為8的等邊置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸正半軸上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，將繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，這時(shí)，點(diǎn)恰好落在軸上.若動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求的值；

（3）設(shè)與相交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)， 與相似？

Answer 1

【答案】（1）, ；（2）；（3）當(dāng)秒或秒時(shí)， 與相似．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可直接得出A點(diǎn)坐標(biāo)；再由OC⊥AB可得出OC的長(zhǎng)，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)可得出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥OD于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知OC平分∠AOB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長(zhǎng)，S△OEF=OFEG，OF=OD﹣DF=﹣t即可得出t的值；

（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD兩種情況進(jìn)行討論．

試題解析：解：（1）∵等邊△AOB的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)A在x軸正半軸上，∴A（8，0），∵OC⊥AB，∴∠AOC=30°，∴OC=OAcos30°=8×=，∵△OAC旋轉(zhuǎn)后OC與OD重合，∴D（0， ）；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥OD于點(diǎn)G，如圖①所示：

∵△OAB為等邊三角形，OC⊥AB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，∴∠EOG=90°﹣30°=60°，∴EG=OEsin∠EOG=t，又∵S△OEF=OFEG，OF=OD﹣DF=﹣t，由題意可得： （﹣t）t=，解得t=±3；

（3）因?yàn)?/span>∠BOD=∠FOP，所以應(yīng)分兩種情況討論：

①當(dāng)∠FPO=∠BDO=90°時(shí)，如圖②，∵△OPF∽△ODB，此時(shí)OE=OF，∴t=﹣t，解得：t=；

②當(dāng)∠OFP=∠ODB=90°時(shí)，如圖③，∵△OPF∽△OBD，∴OF=OE，即（﹣t）=t，解得：t=．

綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，△OPF與△OBD相似．