Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-1）2-4a（a＞0）交x軸于A、B兩點，點A在點B的左邊，其頂點為點C，一條開口向下的拋物線經過A、B、D三點，其頂點D在x軸上方，且其縱坐標為3，連接AC、AD、CD．

（1）直接寫出A、B兩點的坐標；

（2）求經過A、B、D三點的拋物線所對應的函數表達式；

（3）當△ACD為等腰三角形時，求a的值；

（4）將線段AC繞點A旋轉90°，若點C的對應點恰好落在（2）中的拋物線上，直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1） A（-1，0），B（3，0），（2）y=-x2+x+，（3） a=或a=；（4）a1=，a2=．

【解析】

試題分析：（1）根據點的特點，令y=0，求出方程的解，即可；

（2）根據拋物線解析式確定出點C，D的坐標和對稱軸方程，再設出所求解析式即可．

（3）△ACD為等腰三角形時，分三種情況計算：①以CD為底時，則C，D關于x軸對稱，建立方程求解，②以AC為底時，則AD=CD，建立方程求解，③以AD為底時，則AC=CD，建立方程求解即可．

（4）先表示出直線AC的解析式為y=-2ax-2a，從而求出直線l與拋物線的交點M（，），然后表示出AM，AC建立方程即可．

試題解析：（1）令y=0，

∴a（x-1）2-4a=0，

∵a＞0，

∴（x-1）2-4=0

∴x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0），

（2）∵y=a（x-1）2-4a，

∴拋物線的頂點C（1，-4a），對稱軸為x=1，

∴D（1，3），

設經過A，B，D三點的拋物線解析式為y=m（x-1）2+3，

∴m=-，

∴經過A，B，D三點的拋物線解析式為y=-（x-1）2+3=-x2+x+，

（3）當△ACD為等腰三角形時，分三種情況計算，

①以CD為底時，則C，D關于X軸對稱，

∴C（1，-3），

∴-4a=-3，

∴a=，

②以AC為底時，則AD=CD，

根據勾股定理得，AD=，

∴CD=2-（-4a）=3+4a=，

∴a=；

③以AD為底時，則AC=CD，

根據勾股定理得，AC=，

∴CD=3-（-4a）=2，

∴a=-＜0（舍）；

（4）由（1）知，A（-1，0），C（1，4a），AC=2，

∴直線AC的解析式為y=-2ax-2a，

設線段AC繞點A旋轉90°得到的直線為l，

∴l⊥AC且過點A，

∴直線l解析式為y=x+，

∵拋物線y=-x2+x+，

∴3ax2+（2-6a）x+2-9a=0，

∴x1=1（舍），x2=，

∴直線l與拋物線的交點M（，），

∴AM=|6a-1|×，

∵AM=AC，

∴2=|6a-1|×，

∴6a2=|6a-1|

當6a-1≥0時，6a2=6a-1，

∴a=，

當6a-1＜0時，6a2=1-6a，

∴a=-3±（舍），

即：a1=，a2=．