Question

已知：如圖，⊙O的直徑為10，弦AC=8，點(diǎn)B在圓周上運(yùn)動(dòng)（與A、C兩點(diǎn)不重合），連接BC、BA，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D、設(shè)CB的長為x，CD的長為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時(shí)，求y的值；
（2）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時(shí)y的取值范圍；
（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，如果過B作BE⊥AC于E，那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎？若不能，說明理由；若能，求出BE的長．

Answer 1

（1）如圖1，連接OA、OC、．過圓心O作OE⊥AC于點(diǎn)E．
∵直徑為10，弦AC=8，
∴OC=5，CE=8，∠AOE=∠COE．
又∵∠ABC=

1

2

∠AOC=∠COE，CD⊥AB，CB的長為x，
CD的長為y，
∴y=

4

5

x，當(dāng)以CB為直徑的圓與AC相切時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，
此時(shí)，x=6，y=4.8；

（2）以DC為直徑的圓與⊙O的位置關(guān)系是相交或內(nèi)切，
①當(dāng)CB=CA=8時(shí)，兩圓內(nèi)切，y=

4

5

×8=6.4；
②當(dāng)CB≠8時(shí)，兩圓相交，0＜y≤8，且y≠6.4．

（3）以BE為直徑的圓與⊙O可以內(nèi)切，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴BE=5-3=2或BE=5+3=8．