Question

如圖，已知對稱軸為直線x=4的拋物線交x軸于點A、B（點A在B左側），且點B坐標為（6，0），過點B的直線交拋物線于點C（3，4）．
（1）寫出點A坐標；
（2）求拋物線解析式；
（3）若點P在拋物線的BC段上，則x軸上時否存在點Q，使得以Q、B、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請分別求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，同時，點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運動，當其中一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值，以M、N、B為頂點的三角形與△ABC相似，寫出計算過程．

Answer 1

解：（1）設對稱軸x=4交x軸于點D
∴D（4，0）
∵B（6，0）
∴BD=2，由拋物線的對稱性得：
AD=2
∴A（2，0）；

（2）設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），得
4=a（3-2）（3-6）解得
a=-
拋物線的解析式為：y=-x²+x-16

（3）∵四邊形PCQB為平行四邊形
∴PC∥QB，PC=QB
∴P點的縱坐標為4
∴4=-x²+x-16，
解得x=3（不符合題意）或5
∴P（5，4）
∴PC=5-3=2
∴QB=2
∴Q（4，0）或（8，0）
∴P（5，4），Q（4，0）或P（5，4），Q（8，0）；

（4）當運行t秒時
∴BN=2t，AM=t，BM=4-t
當△BMN∽△BAC
∴
∵C（3，4），B（6，0），由兩點間的距離公式得
BC=5
∵A（2，0）
∴AB=4
∴，
解得t=
當△BNM∽△BAC時
∴
∴，
解得t=
分析：（1）設對稱軸與x軸交于點D．由B點的坐標就可以求出DB的長度，根據拋物線的對稱性就可以求出AD的長度，又知道D點的橫坐標就可以求出點A的坐標．
（2）利用待定系數法把A、B、C三點的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式．
（3）∵BQ∥CP，∴可以求出點P的坐標，從而求出PC的長，∵PC=BQ，就可以求出Q點的坐標．
（4）根據兩點間的距離公式BC、AB的長度，再利用相似三角形的對應線段成比例就可以求出t的值．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了拋物線的對稱性，待定系數法求函數的解析式的運用，平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質．