Question

（2010•東臺市模擬）如圖，△ABO中，O是坐標原點，A，B．
（1）①以原點O為位似中心，將△ABO放大，使變換后得到的△CDO與△ABO的位似比為2：1，且D在第一象限內，則C點坐標為（______

Answer 1

【答案】分析：（1）①首先根據點D的位置確定△COD的位置，然后根據位似比作圖，即可得到點C、D的坐標；
②可過E作y軸的垂線，設垂足為F，由于△ODE是由△ODC翻折而得，故OE=OC=2，∠EOD=∠COD=30°，根據這些條件，即可在Rt△OEF中，通過解直角三角形求出點E的坐標．
（2）在（1）題中，已經求得了E、C的坐標，利用待定系數法求解即可．
（3）四邊形MEOC中，△OEC的面積是定值，若四邊形的面積最大，則△EMC的面積最大；過M作MN∥y軸，交直線CE于N，設出點M的橫坐標，根據拋物線和直線CE的解析式即可得到MN的長，以MN為底，C、E橫坐標差的絕對值為高，即可得到△EMC的面積表達式，進而可得到關于四邊形MEOC的面積和M點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可得到四邊形的面積最大值，及對應的M點坐標．
解答：解：（1）①由題意知：OC=2OA=2，
CD=2AB=2；
故C（2，0），D（2，2）；
②如圖，過E作EF⊥y軸于F；
Rt△OCD中，OC=2，CD=2，則有：
∠DOC=30°；
根據折疊的性質知：
OE=OC=2，∠EOD=∠DOC=30°；
在Rt△OEF中，OE=2，∠FOE=30°，
則：FE=，OF=3，
故E（，3）．

（2）由于拋物線經過E（，3），C（2，0），依題意有：
，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x；

（3）過M作MN∥y軸，交CE于N；
∵E（，3），C（2，0），
∴直線EC：y=-x+6；
設M（x，-x²+2x），則N（x，-x+6），
∴MN=-x²+2x-（-x+6）=-x²+3x-6；
∴四邊形EMCO的面積S=S_△EMC+S_△EOC
=×（-x²+3x-6）×+×2×3
=-x²+x=-（x-）²+；
∴當x=，即M（，）時，四邊形OEMC的面積最大，且最大值為．
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到圖形的位似變化、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標及圖形面積的求法、二次函數最值的應用等重要知識點，綜合性強，難度較大．