Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，點H是△ABC的內心，AH的延長線和三角形ABC的外接圓O相交于點D，連結DB．

（1）求證：DH＝DB；

（2）過點D作BC的平行線交AC、AB的延長線分別于點E、F，已知CE＝1，圓O的直徑為5．

①求證：EF為圓O的切線；

②求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析，②DF＝．

【解析】

（1）先判斷出∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，進而判斷出∠DHB=∠DBH，即可得出結論；

（2）①先判斷出OD∥AC，進而判斷出OD⊥EF，即可得出結論；

②先判斷出△CDE≌△BDG，得出GB=CE=1，再判斷出△DBG∽△ABD，求出DB2=5，即DB=，DG=2，進而求出AE=AG=4，最后判斷出△OFD∽△AFE即可得出結論．

（1）證明：連接HB，

∵點H是△ABC的內心，

∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，

∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，

∴∠DHB＝∠DBH，

∴DH＝DB；

（2）①連接OD，

∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC

∴OD∥AC，

∵AC⊥BC，BC∥EF，

∴AC⊥EF，

∴OD⊥EF，

∵點D在⊙O上，

∴EF是⊙O的切線；

②過點D作DG⊥AB于G，

∵∠EAD＝∠DAB，

∴DE＝DG，

∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，

∴△CDE≌△BDG，

∴GB＝CE＝1，

在Rt△ADB中，DG⊥AB，

∴∠DAB＝∠BDG，

∵∠DBG＝∠ABD，

∴△DBG∽△ABD，

∴，

∴DB2＝ABBG＝5×1＝5，

∴DB＝，DG＝2，

∴ED＝2，

∵H是內心，

∴AE＝AG＝4，

∵DO∥AE，

∴△OFD∽△AFE，

∴，

∴，

∴DF＝．