Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAD的平分線AE交BC于E，F，G分別是AB，AD的中點．
（1）求證：EF=EG；
（2）當AB與EC滿足怎樣的數量關系時，EG∥CD？并說明理由．

Answer 1

分析：1、易證得△ABD是等腰三角形，再由SAS證得△AFE≌△AGE?EF=EG．
2、若EG∥CD，則四邊形GDCE為平行四邊形，則應有CE=GD=

1

2

AD=

1

2

AB．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB．
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
又∵AF=

1

2

AB，AG=

1

2

AD，
∴AF=AG．
又∵∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△AFE≌△AGE．
∴EF=EG．

（2）解：當AB=2EC時，EG∥CD，
證明：∵AB=2EC，
∴AD=2EC．
∴GD=

1

2

AD=EC．
又∵GD∥EC，
∴四邊形GECD是平行四邊形．
∴EG∥CD．

點評：【命題意圖】邏輯證明是中考必考題．一般會以全等，相似，或是特殊四邊形這樣的證明步驟在十步左右的．本題考查全等及平行四邊形判定及性質．測試時學生完成情況有點眼高手低．