Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為點B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1，

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標；

（3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數式表示S，并求其最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）（3）當0＜m≤時，S=﹣m2+3m；當＜m＜3時，S=m2﹣3m+

【解析】試題分析：（1）根據對稱軸可知，拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），根據待定系數法可得拋物線的解析式為．

（2）分三種情況：①當MA=MB時；②當AB=AM時；③當AB=BM時；三種情況討論可得點M的坐標．

（3）平移后的三角形記為△PEF．根據待定系數法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得AB平移m個單位所得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據待定系數法可得直線AC的解析式．連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．根據圖象，易知重疊部分面積有兩種情況：①當時；②當時；討論可得用m的代數式表示S．

試題解析：（1）由題意可知，拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），則：，解得：．

故拋物線的解析式為．

（2）依題意：設M點坐標為（0，m），

①當MA=MB時：，解得m=0，故M（0，0）；

②當AB=AM時：，解得m=3（舍去）或m=﹣3，故M（0，﹣3）；

③當AB=BM時，，解得，故M（0，）或M（0，）．

所以點M的坐標為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，）、（0，）．

（3）平移后的三角形記為△PEF．設直線AB的解析式為，則：，解得：．

則直線AB的解析式為．

△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（）得到△PEF，易得直線EF的解析式為．

設直線AC的解析式為，則：，解得：，

則直線AC的解析式為．

連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．

在△AOB沿x軸向右平移的過程中．

①當時，如圖1所示．

設PE交AB于K，EF交AC于M．則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

聯立，解得：，即點M（3﹣m，2m）．

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM==．

②當時，如圖2所示．

設PE交AB于K，交AC于H．因為BE=m，所以PK=PA=3﹣m，

又因為直線AC的解析式為，所以當時，得，所以點H（，）．

故S=S△PAH﹣S△PAK=PAPH﹣PA2=．

綜上所述，．