Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標是（4，1），與y軸的交點為A（0，5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若B（

5

2

，0），C是（1）中拋物線上的點，CD⊥OB，垂足為D，△AOB∽△BDC．
①求點C的坐標；
②試判定以AC為直徑的圓M與x軸有怎樣的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-4）²+1，把A的坐標代入求出a即可；
（2）①設C（m，

1

4

m²-2m+5），求出CD、OD、BD，根據△AOB∽△BDC得到方程，求出方程的解即可求出答案；
（3）求出△ABC是直角三角形，連接MB，根據M是AC的中點，和OB=BD，推出MB∥OA，即可得出答案．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-4）²+1，
∵拋物線經過A（0，5），
∴5=a（0-4）²+1，
∴a=

1

4

∴拋物線的解析式為y=

1

4

（x-4）²+1，
即y=

1

4

x²-2x+5，
答：拋物線的解析式為y=

1

4

x²-2x+5．

（2）解：①∵C在拋物線上，
∴設C（m，

1

4

m²-2m+5），
即CD=

1

4

m²-2m+5　OD=m，
∴BD=OD-OB=m-

5

2

，
∵△AOB∽△BDC，
∴

CD

OB

=

BD

OA

，
即

1 4 m2-2m+5

5 2

=

m- 5 2

5

，
解得m=5，
∴C（5，

5

4

），
答：C的坐標是（5，

5

4

）．

②答：以AC為直徑的圓M與x軸的位置關系是相切．
理由是：∵∠CBD=∠BAO，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBD+∠ABO=90°，
∴∠ABC=90°，
即△ABC是直角三角形，
連接MB，
∵M是AC的中點，
∴MB=

1

2

AC，
∵OB=BD=

5

2

，
∴MB∥OA，
∴MB⊥x軸，
即圓M與x軸相切．

點評：本題主要考查對平行線的判定，相似三角形的性質和判定，用待定系數法求二次函數的解析式，直角三角形斜邊上的中線的性質，解一元一次方程，切線的判定，直線與圓的位置關系等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．