Question

【題目】如圖，在鈍角三角形中，分別以和為斜邊向的外側作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于點，取的中點，的中點，連接，，，下列結論：①；②；③；④.其中正確結論有（ ）

A. 個B. 個C. 個D. 個

Answer 1

【答案】D

【解析】

①首先根據D是BC中點，N是AC中點N，可得DN是△ABC的中位線，判斷出DN＝AB；然后判斷出EM＝AB，即可判斷出EM＝DN；

②首先根據DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根據DN＝AB，可得S△CDN＝S△ABC，所以S△CDN＝S四邊形ABDN，據此判斷即可．

③首先連接MD、FN，判斷出DM＝FN，∠EMD＝∠DNF，然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△EMD≌△DNF，即可判斷出DE＝DF．

④首先判斷出＝sin45°＝，DM＝FA，∠EMD＝∠EAF，根據相似三角形判定的方法，判斷出△EMD∽△∠EAF，即可判斷出∠MED＝∠AEF，然后根據∠MED＋∠AED＝45°，判斷出∠DEF＝45°，再根據DE＝DF，判斷出∠DFE＝45°，∠EDF＝90°，即可判斷出DE⊥DF．

解：∵D是BC中點，N是AC中點，

∴DN是△ABC的中位線，

∴DN∥AB，且DN＝AB；

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于點M，

∴M是AB的中點，

∴EM＝AB，

又∵DN＝AB，

∴EM＝DN，

∴結論①正確；

∵DN∥AB，

∴△CDN∽ABC，

∵DN＝AB，

∴S△CDN＝S△ABC，

∴S△CDN＝S四邊形ABDN，

∴結論②正確；

如圖1，連接MD、FN，

∵D是BC中點，M是AB中點，

∴DM是△ABC的中位線，

∴DM∥AC，且DM＝AC；

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點，

∴FN＝AC，

又∵DM＝AC，

∴DM＝FN，

∵DM∥AC，DN∥AB，

∴四邊形AMDN是平行四邊形，

∴∠AMD＝∠AND，

又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，

∴∠EMD＝∠DNF，

在△EMD和△DNF中，

EM＝DN，∠EMD＝∠DNF，MD＝NF，

∴△EMD≌△DNF，

∴DE＝DF，

∴結論③正確；

如圖2，連接MD，EF，NF，

∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，

∴M是AB的中點，EM⊥AB，

∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，

∴＝sin45°＝，

∵D是BC中點，M是AB中點，

∴DM是△ABC的中位線，

∴DM∥AC，且DM＝AC；

∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點，

∴FN＝AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，

又∵DM＝AC，

∴DM＝FN＝FA，

∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，

∠EAF＝360°∠EAM∠FAN∠BAC

＝360°45°45°（180°∠AMD）

＝90°＋∠AMD

∴∠EMD＝∠EAF，

在△EMD和△∠EAF中，，∠EMD＝∠EAF，

∴△EMD∽△∠EAF，

∴∠MED＝∠AEF，

∵∠MED＋∠AED＝45°，

∴∠AED＋∠AEF＝45°，

即∠DEF＝45°，

又∵DE＝DF，

∴∠DFE＝45°，

∴∠EDF＝180°45°45°＝90°，

∴DE⊥DF，

∴結論④正確．

∴正確的結論有4個：①②③④．

故選：D．