Question

【題目】如圖1在正方形ABCD的外側作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE．

（圖1） （圖2） （備用圖）

（1）請判斷：AF與BE的數量關系是_____________，位置關系______________；

（2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為“兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；

（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）AF=BE，AF⊥BE（2）結論成立（3）結論都能成立

【解析】試題分析：（1）根據正方形和等邊三角形可證明△ABE≌△DAF，然后可得BE=AF，∠ABE=∠DAF，進而通過直角可證得BE⊥AF；

（2）類似（1）的證法，證明△ABE≌△DAF，然后可得AF=BE，AF⊥BE，因此結論還成立；

（3）類似（1）（2）證法，先證△AED≌△DFC，然后再證△ABE≌△DAF，因此可得證結論．

試題解析：解：（1）AF=BE，AF⊥BE．

（2）結論成立．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA="AD" =DC，∠BAD =∠ADC = 90°．

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC．

∴∠EAD=∠FDC．

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，

即∠BAE=∠ADF．

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF．

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF．

∵∠DAF +∠BAF=90°，

∴∠ABE +∠BAF=90°，

∴AF⊥BE．

（3）結論都能成立．