Question

把一條寬為1厘米的長方形紙片對折n次，得到一個小長方形，寬仍然是1厘米，長是整數厘米．然后，從小長方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面積為1平方厘米的正方形紙片和面積為2平方厘米的長方形紙片．如果這些紙片中恰好有1282塊正方形，那么，對折的此數n共有多少種不同的數值？

Answer 1

分析：首先從特殊得折疊次數1，2，3，開始得出對一般的n，得到的正方形個數為；a-2×（2ⁿ-1），另a-2×（2ⁿ-1）=1282，進而利用若2ⁿ|a，則符合條件分析得出即可．

解答：解：設長方形的長為a，
若n=1，即對折一次，按題中操作可得1平方厘米的正方形紙片個數為：
（

a

2

-1）×2=a-2=1282，
解得：a=1284，2|1284，符合條件；
若n=2，即對折2次，按題中操作可得1平方厘米的正方形紙片個數為：
（

a

4

-1）×2+（

a

4

-2）×（4-2）=a-6=1282，
解得：a=1288，4|1288，符合條件；
若n=3，即對折3次，按題中操作可得1平方厘米的正方形紙片個數為：
（

a

8

-1）×2+（

a

8

-2）×（8-2）=a-2×（8-1）=1282，
解得：a=1296，8|1296，符合條件；
對一般的n，得到的正方形個數為；a-2×（2ⁿ-1），另a-2×（2ⁿ-1）=1282，
解得：a=2×（2ⁿ-1）+1282=2×2ⁿ+1280，
若2ⁿ|a，則符合條件，顯然，
當2ⁿ|1280時符合條件，1280=2⁸×5，
∴n可取1到8，對折的次數n共有8種不同的可能數值．

點評：此題主要考查了計數方法，從特殊到一般利用得出n的最大值是解題關鍵．