Question

如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．

（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）如果∠BDE= 60°，OD=，求PO的長．

Answer 1

（1）證明見解析;（2）PA=1,過程見解析．

試題分析：（1）要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可,要證是直線PD是為⊙O的切線，需證∠PDO=90°,因為AB為直徑，所以∠ADO+∠ODB=90°，由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°，即∠PDO=90°;（2）根據已知可證△AOD為等邊三角形，∠P=30°,在Rt△POD中運用三角函數可求解．
試題解析：（1）PD是⊙O的切線．理由如下：
∵AB為直徑，
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°,
∴PD是⊙O的切線;,
（2）∵∠BDE=60°，∠ADB=90°，
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°，
又PD為半圓的切線，所以∠PDO=90°，
∴∠ADO=60°，又OA=OD，
∴△ADO為等邊三角形，∠AOD=60°．
在Rt△POD中，PD=，
∴OD=1，OP=2，
PA=PO-OA=2-1=1．