Question

已知關于的一元二次方程．

（1）求證：當a取不等于1的實數時，此方程總有兩個實數根；

（2）若m，n（）是此方程的兩根，并且．直線l：交x軸于點A，交y軸于點B．坐標原點O關于直線l的對稱點在反比例函數的圖象上，求反比例函數的解析式；

（3）在（2）成立的條件下，將直線l繞點A逆時針旋轉角，得到直線，交y軸于點P，過點P作x軸的平行線，與上述反比例函數的圖象交于點Q，當四邊形的面積為時，求的值.

 

Answer 1

（1）證明：

∵為關于x的一元二次方程,

      ∴，即,

      ∴.

∴≥.

∴當a取不等于1的實數時，此方程總有兩個實數根.      

（2）解：關于x的一元二次方程的兩根為

      .

   ∴.

   ∵m，n是方程的兩根，且,

   ∴.

   ∴.                              …   ∴，.

   ∵,

   ∴.

   ∴直線l的解析式為.

   ∴直線l與x軸交點，與y軸交點.

∴為等腰直角三角形.

∴坐標原點O關于直線l的對稱點的坐標為.

∴反比例函數的解析式為.   

（3）解：設點P的坐標為（0, p），延長PQ和交于點G.

   ∵軸，與反比例函數圖象交于點Q,

   ∴四邊形AOPG為矩形.

∴Q的坐標為.

   ∴.

   當，即時,

 ∵,

   ∴

            

            

.

∴.

   ∴.

     經檢驗，符合題意.

   ∴.                          

   ∴.

     點A關于y軸的對稱點為，連結,易得.

∴.

∴.

∵.

∴.   

   當≤，即時，

可類似地求得，這與矛盾，所以此時點P不存在.

∴旋轉角.