Question

【題目】已知a，b為有理數，且a，b不為0，則定義有理數對（a，b）的“真誠值”為d（a，b）＝，如有理數對（3，2）的“真誠值”為d（3，2）＝23﹣10＝﹣2，有理數對（﹣2，5）的“真誠值”為d（﹣2，5）＝（﹣2）5﹣10＝﹣42．

（1）求有理數對（﹣3，2）與（1，2）的“真誠值”；

（2）求證：有理數對（a，b）與（b，a）的“真誠值”相等；

（3）若（a，2）的“真誠值”的絕對值為|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝6，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）d（﹣3，2）的“真誠值”為﹣1，d（1，2）的“真誠值”為﹣9；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）根據題目中的新定義，可以求得有理數對（﹣3，2）與（1，2）的“真誠值”；

（2）根據題意分類討論當a＞b時和當a＜b時，再結合新定義進行證明結論；

（3）由|d（a，2）|＝6，得到d（a，2）＝±6，分d（a，2）＝6和d（a，2）＝﹣6時進行討論即可得到答案.

（1）d（﹣3，2）＝（﹣3）2﹣10＝9﹣10＝﹣1，d（1，2）＝12﹣10＝1﹣10＝﹣9；

（2）證明：由題知：

ⅰ當a＞b時，因為d（a，b）＝ba﹣10，d（b，a）＝ba﹣10，

所以d（a，b）＝d（b，a）；

ⅱ當a＜b時，因為d（a，b）＝ab﹣10，（b，a）＝ab﹣10，

所以d（a，b）＝d（b，a）；

綜合所得：d（a，b）＝d（b，a）；

（3）因為|d（a，2）|＝6，所以d（a，2）＝±6，

ⅰ、若d（a，2）＝6，

當a＞2 時，2a﹣10＝6，2a＝16，得a＝4成立；

當a＜2 時，a2﹣10＝6，a2＝16，得a＝±4，

因為a＜2，所以a＝﹣4；

ⅱ、若d（a，2）＝﹣6時

當a＞2 時，2a﹣10＝﹣6，2a＝4，得a＝2不成立；

當a＜2 時，a2﹣10＝﹣6，a2＝4，得a＝±2，

因為a＜2，所以a＝﹣2；

由上可得，a＝﹣2或±4．