Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1，2)．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；

（3）連接AB，在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△ABO．若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）B（4，2）；（2）；（3）P 1 （0，0），P 2 （3，0）， ，

【解析】

（1） 過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x 軸，垂足為點(diǎn)E,則AF=2，OF=1，再證明Rt△AFO∽Rt△OEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得BE=2，OE=4，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）；（2）利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0或4，再解方程即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥x 軸，垂足為點(diǎn)E,則AF=2，OF=1，

∵OA⊥OB，

∴∠AOF+∠BOE=90°，

又∵∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOF=∠OBE，

∴Rt△AFO∽Rt△OEB，

∵OB＝2OA，

∴ ，

∴BE=2，OE=4，

∴B（4，2）；

（2）設(shè)過點(diǎn)A（-1，2），B（4，2），0（0，0）的拋物線為y=ax2 +bx，

∴，

解得， ，

∴所求拋物線的表達(dá)式為；

（3）∵A (－1，2)，B（4，2），

∴AB∥x軸，

設(shè)拋物線上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d，

則S△ABP = ，∴d=2，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)只能是0或4，

令y=0，得 ，解之，得x=0，或x=3，

∴符合條件的點(diǎn)P1 （0，0），P 2 （3，0），

令y=4，得 ，解之，得 ，

∴符合條件的點(diǎn) ，，

∴綜上，符合題意的點(diǎn)有四個(gè)：P 1 （0，0），P 2 （3，0）， ， .