Question

【題目】如圖1，射線OB與直線AN垂直于點O，線段OP在∠AOB內，一塊三角板的直角頂點與點P重合，兩條直角邊分別與AN、OB的交于點C、D．

（1）當∠POB=60°，∠OPC=30°，PC=2時，則PD= ．

（2）若∠POB=45°，

①當PC與PO重合時，PC和PD之間的數量關系是 ；

②當PC與PO不重合時，猜想PC與PD之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）①PC=PD；②PC=PD

【解析】(1)、作PE⊥AN于E，根據Rt△ECP的性質得出EP的長度，然后根據Rt△OPE的性質求出OP的長度，最后根據等邊三角形的性質得出答案；(2)、根據題意得出△PCD為等腰直角三角形，從而得出答案；作PE⊥AN于E，PF⊥OB于F，根據矩形的性質以及角平分線的性質得出△EPC和△FPD全等，從而得出答案．

(1)、作PE⊥AN于E，∵∠POB=60°，OB⊥AN，∴∠AOP=30°，又∠OPC=30°，

∴∠ECP=60°，∴EP=PCsin∠ECP=，∴OP=2EP=2，∵∠POB=60°，∠OPD=60°，

∴△POD是等邊三角形，∴PD=PO=2；

(2)、①當∠POB=45°時，∵三角板的直角頂點與點P重合，

∴PC與PO重合時，△PCD為等腰直角三角形， ∴PC=PD，

②PC=PD，理由如下：作PE⊥AN于E，PF⊥OB于F，∵AN⊥OB，PE⊥AN，PF⊥OB，

∴四邊形EOFP為矩形，∴∠EPF=90°，∴∠EPC=∠FPD，∵∠POB=45°，∴∠POA=45°，

∴OP平分∠EOF，又PE⊥AN，PF⊥OB，∴PE=PF，

在△EPC和△FPD中，， ∴△EPC≌△FPD， ∴PC=PD．