Question

【題目】如圖，A點的縱坐標為3，過A點的一次函數圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于點B．

（1）求該一次函數的表達式；

（2）若點P為第一象限內直線AB上的一動點，設點P的橫坐標為m，過點P作x軸的垂線交正比例函數圖象于點Q，交x軸于點M．

①當△AOB≌△PQB時，求線段PM的長．

②當線段PQ＝AO時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）①1；②點P的坐標為(，)或(，)．

【解析】

（1）根據圖象上點的坐標特征求得B的坐標，然后根據待定系數法即可求得一次函數的解析式；

（2）①根據題意P（m，﹣m+3），則Q（m，2m），即可得到PQ＝|2m﹣（﹣m+3）|＝|3m﹣3|，當△AOB≌△PQB時，AO＝PQ，即|3m﹣3|＝3，然后結合題意即可求得P（2，1），PM＝1；

②根據題意得到|3m﹣3|＝，求得m的值，從而求得P的坐標．

解：（1）∵點B的橫坐標為1，且點B在正比例函數y＝2x的圖象上，

∴y＝2×1＝2，

∴B（1，2），

∵A點的縱坐標為3，

設一次函數的解析式為y＝kx+3，

代入B（1，2）得，2＝k+3，

解得k＝﹣1，

∴一次函數的解析式為y＝﹣x+3；

（2）①∵點P為第一象限內直線AB上的一動點，且點P的橫坐標為m，

∴P（m，﹣m+3），

∵PQ⊥x軸，且Q在y＝2x的圖象上，

∴Q（m，2m），

∴PQ＝|2m﹣（﹣m+3）|＝|3m﹣3|，

當△AOB≌△PQB時，

∴AO＝PQ，即|3m﹣3|＝3，

∴m＝2或0（由點P在第一象限，故舍去），

∴P（2，1），PM＝1；

②當線段PQ＝AO時，則|3m﹣3|＝，

當3m﹣3＝時，

解得m＝，

此時P（，）；

當﹣3m+3＝時，

解得m＝，

此時P（，）．

綜上：點P的坐標為(，)或(，)．