Question

（2008•隨州）某生物科技發展公司投資2000萬元，研制出一種綠色保健食品．已知該產品的成本為40元/件，試銷時，售價不低于成本價，又不高于180元/件．經市場調查知，年銷售量y（萬件）與銷售單位x（元/件）的關系滿足下表所示的規律．

銷售單價x（元/件）	…	60	65	70	80	85	…
年銷售量y（萬件）	…	140	135	130	120	115	…

（1）y與x之間的函數關系式是______，自變量x的取值范圍為______；
（2）經測算：年銷售量不低于90萬件時，每件產品成本降低2元，設銷售該產品年獲利潤為W（萬元）（W=年銷售額-成本-投資），求出年銷售量低于90萬件和不低于90萬件時，W與x之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，當銷售單位定為多少時，公司銷售這種產品年獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）求一次函數解析式可以觀察表格直接寫出，由60-65-70，自變量每次增加5，函數值每次減少5；也可以設一次函數解析式得出．
（2）市場營銷問題，根據題目所給等量關系表示年利潤，根據二次函數的性質及自變量取值范圍求最大利潤．
解答：解：由題意得：
（1）y=-x+200（40≤x≤180）

（2）當y＜90，即-x+200＜90時，x＞110
W=（x-40）（-x+200）-2000
=-x²+240x-10000
當y≥90，即-x+200≥90時，x≤110
W=（x-38）（-x+200）-2000
=-x²+238x-9600
∴

（3）當110＜x≤180時，由W=-x²+240x-10000=-（x-120）²+4400得W_最大=4400
當38≤x≤110時，W=-x²+238x-9600，
∴該函數圖象是拋物線的一部分，該拋物線開口向下，它的對稱軸是直線x=119，在對稱軸左側W隨x的增大而增大．
∴當x=110，W最大=（110-38）×（-110+200）-2000=72×90-2000=4480
答：當銷售單位定為110元時，年獲利潤最大，最大利潤為4480萬元．
點評：會根據題意，確定自變量取值范圍，求出分段函數，根據自變量的范圍，求最大值．實際問題中，自變量的取值范圍對求函數的最大（小）值，有很大影響，需要結合圖形，充分考慮．