Question

【題目】已知等邊△ABC和⊙M.

（1）如圖l，若⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，求證： AM∥BC;

（2）如圖2，若⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，求證：四邊形ABCM是平行四邊形．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】證明：（1）連接AM，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°。

∴∠KAC=180°﹣∠BAC=120°。

∵⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，

∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°。

∴∠KAM=∠B=60°。∴AM∥BC。

（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°。

∴∠KAC=180°﹣∠BAC=120°，∠FCA=120°。

∵⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，

∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°，

∠FCM=∠ACM=∠FCA=×120°=60°。

∴∠KAM=∠B=60°，∠FCM=∠B=60°。

∴AM∥BC，CM∥AB，∴四邊形ABCM是平行四邊形。

（1）由等邊△ABC，即可得∠B=∠BAC=60°，求得∠KAC=120°，又由⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，利用切線長定理，即可得∠KAM=60°，然后根據同位角相等，兩直線平行，證得AM∥BC。

（2）根據（1），易證得AM∥BC，CM∥AB，從而可證得四邊形ABCM是平行四邊形。