Question

如圖，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，對角線BD、AC交于點O．將直線AC繞點O順時針旋轉分別交BC、AD于點E、F．
（1）試說明在旋轉過程中，AF與CE總保持相等；
（2）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能請說明理由；如果能，求出此時AC繞點O順時針旋轉的角度．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，對角線互相平分可得OA=OC，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據全等三角形對應邊相等即可得到AF=CE；
（2）根據垂直的定義可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根據內錯角相等，兩直線平行可得AB∥EF，然后根據平行四邊形的對邊平行求出AF∥BE，再根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；
（3）根據（1）的結論可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形BEDF平行四邊形，再求出對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形；根據勾股定理列式求出AC=2，再根據平行四邊形的對角線互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根據旋轉的定義求出旋轉角即可．

解答：解：（1）在?ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）由題意，∠AOF=90°（如圖2），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形（如圖3）．
∵?ABCD，AF=CE，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
又∵EF⊥BD，
∴?BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC2-AB2

=

5 2-12

=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠1=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°，
即：旋轉角為45°．

點評：本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定與性質，綜合題，但難度不大，熟練掌握平行四邊形，菱形的聯系與區別是解題的關鍵．