Question

如圖，拋物線與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)A，P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是實(shí)數(shù)）在拋物線上，直線y=k x +b經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．

（1）求直線AB的解析式；
（2）平行于y軸的直線x=2交直線AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．
①直線x=t（0≤t≤4）與直線AB相交F，與拋物線相交于點(diǎn)G．若FG∶DE＝3∶4，求t的值；
②將拋物線向上平移m(m＞0)個(gè)單位，當(dāng)EO平分∠AED時(shí)，求m的值．

Answer 1

（1）（2）①t₁=1，t₂="3" ②

試題分析：（1）∵P（2a，－4a²＋7a＋2）（a是實(shí)數(shù)）在拋物線上，
∴拋物線的解析式為y=－4a²＋7a＋2=－4×()²＋7×＋2=－x²＋x＋2．
當(dāng)y=0時(shí)，即－x²＋x＋2=0，解得x₁=－，x₂=4．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（－，0）．
∴解得
故直線AB的解析式為y=－x＋2．
（2）①∵點(diǎn)E（2，5），D（2，1），G（t，－ t²＋t＋2），F（t，－t＋2），
∴DE=4，FG=－t²＋t＋2－(－t＋2)=－t²＋4t．
∵FG∶DE＝3∶4，
∴－t²＋4t=3．
解得t₁=1，t₂=3．
②設(shè)點(diǎn)A（0，2+m），則點(diǎn)E（2，5+m）
作AH⊥DE，垂足為H．
∴AE²=AH²+HE²=2²+(5+m－2－m)²=13．即AE=．
∵EO平分∠AED，∴∠AEO＝∠DEO．
∵AO∥ED，∴∠DEO＝∠AOE．
∴∠AEO＝∠AOE．

∴AO=AE，即2+m=．解得m=2－
點(diǎn)評(píng)：該題主要考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及分析二次函數(shù)在坐標(biāo)系中的幾何意義，是常考題。