Question

【題目】經統計分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到220輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為80千米/小時，研究表明：當20≤x≤220時，車流速度v是車流密度x的一次函數．

（1）求大橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度；

（2）在交通高峰時段，為使大橋上的車流速度大于40千米/小時且小于60千米/小時，應控制大橋上的車流密度在什么范圍內？

（3）車流量（輛/小時）是單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，即：車流量=車流速度×車流密度．求大橋上車流量y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）大橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度48千米/小時；

（2）應控制大橋上的車流密度在70＜x＜120范圍內；

（3）當車流密度是110輛/千米，車流量y取得最大值是每小時4840輛．

【解析】

試題分析：（1）當20≤x≤220時，設車流速度v與車流密度x的函數關系式為v=kx+b，根據題意的數量關系建立方程組求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式組求出其解即可；

（3）設車流量y與x之間的關系式為y=vx，當x＜20和20≤x≤220時分別表示出函數關系由函數的性質就可以求出結論．

試題解析：（1）設車流速度v與車流密度x的函數關系式為v=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴當20≤x≤220時，v=﹣x+88，

當x=100時，v=﹣×100+88=48（千米/小時）；

（2）由題意，得

，

解得：70＜x＜120．

∴應控制大橋上的車流密度在70＜x＜120范圍內；

（3）設車流量y與x之間的關系式為y=vx，

當0≤x≤20時

y=80x，

∴k=80＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴x=20時，y最大=1600；

當20≤x≤220時

y=（﹣x+88）x=﹣（x﹣110）2+4840，

∴當x=110時，y最大=4840．

∵4840＞1600，

∴當車流密度是110輛/千米，車流量y取得最大值是每小時4840輛．