Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB，CD的延長線分別交于E，F．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當EF與AC滿足什么關系時，以A，E，C，F為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的對角線互相平分），

AE∥CF（矩形的對邊平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）

（2）解：當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

【解析】（1）由矩形的性質：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；（2）若四邊形EBFD是菱形，則對角線互相垂直，因而可添加條件：EF⊥AC， 當EF⊥AC時，∠EOA=∠FOC=90°，
∵AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，矩形對角線的交點為O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．
∴四邊形EBFD是菱形．