Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，連接BD．現將一個足夠大的直角三角板的直角頂點P放在BD所在的直線上，一條直角邊過點C，另一條直角邊與AB所在的直線交于點G．

（1）是否存在這樣的點P，使點P、C、G為頂點的三角形與△GCB全等？若存在，畫出圖形，并直接在圖形下方寫出BG的長．（如果你有多種情況，請用①、②、③、…表示，每種情況用一個圖形單獨表示，如果圖形不夠用，請自己畫圖）

（2）如圖（2），當點P在BD的延長線上時，以P為圓心、PB為半徑作圓分別交BA、BC延長線于點E、F，連EF，分別過點G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N為垂足．試探究PM與FN的關系．

Answer 1

【答案】（1）BG=3；見解析（2）PM=FN．

【解析】

試題分析：（1）只需分點G在線段AB上（如圖①）、在線段AB的延長線上（如圖②）、在線段AB的反向延長線上（如圖③）三種情況討論，即可解決問題；

（2）如圖2，由（1）可知，此時BG=PG=，BC=PC=4．易證△PGM∽△CPN，從而可得PM=CN；易證△FNC∽△BCD，從而可得FN=CN，即可得到PM=FN．

解：（1）存在點P，使點P、C、G為頂點的三角形與△GCB全等．

①若點G在線段AB上，如圖①．

當BG=PC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時∠GCB=∠CGP，

∴PG∥BC，

∴∠GPC+∠PCB=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠PCB=90°，

∴點P在點D處，

∴BG=PC=DC=AB=3；

②若點G在線段AB的延長線上，如圖②．

當BG=PC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，

此時BC=PG，∠GCB=∠CGP，

∴OG=OC，OB=OP，

∴∠PBO=∠BPO=（180°﹣∠BOP），

∠OCG=∠OGC=（180°﹣∠GOC）．

∵∠BOP=∠GOC，

∴∠PBO=∠OCG，

∴BD∥CG．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，即BG∥DC，

∴四邊形BGCD是平行四邊形，

∴BG=CD=3；

③若點G在線段AB的反向延長線上，如圖③．

當PC=BC時，根據HL可得Rt△GBC≌Rt△GPC，

此時BG=PG，

∴點G、C在BP的垂直平分線上，

∴GC垂直平分BP，

∴∠BGC+∠GBD=90°．

∵∠CBD+∠GBD=90°，

∴∠BGC=∠CBD．

又∵∠GBC=∠BCD=90°，

∴△GCB∽△BDC，

∴=．

∵BC=4，CD=3，

∴=，

∴BG=；

（2）如圖2，

由（1）可知，此時△GBC≌△GPC，且BG=PG=，BC=PC=4．

∵GM⊥EF，CN⊥EF，

∴∠GMP=∠PNC=90°，

∴∠MGP+∠GPM=90°．

∵∠GPC=90°，

∴∠GPM+∠NPC=90°，

∴∠MGP=∠NPC，

∴△PGM∽△CPN，

∴=．

∴==，即PM=CN．

∵PB=PF，∴∠F=∠PBC．

又∵∠FNC=∠BCD=90°，

∴△FNC∽△BCD，

∴=．

∵BC=4，DC=3，

∴=，

∴FN=CN，

∴PM=FN．