Question

已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交于BC于 D點，在AD上任取一點P，（A點除外），過P點作EF∥AB，分別交AC、BC于點E、F，作PM∥AC，交AB于點M，連結ME。

（1）求證：四邊形AEPM為菱形；

（2）當P點在何處時，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半。

 

 

 

Answer 1

（1）見解析（2）P為EF中點時

解析:（1）證明：∵EF∥AB. PM∥AC。

∴AEPM為平行四邊形。

∵AB=AC.AD平分∠CAB.

∴∠CAD=∠BAD.AD⊥BC.

           又∵∠BAD=∠EPA.

            ∴∠CAD=∠EPA.∴EA=EP.

            ∴AEPM為菱形。

       （2）解：當P為EF中點時。S_菱形AEPM=S_{四邊形EFBM.}

              ∵四邊形AEPM為菱形。

              ∴AD⊥EM.

             又∵AD⊥BC.

                ∴EM∥BC

             又∵EF∥AB.

               ∴四邊形EFBM為平行四邊形。

             作EN⊥AB于點N。

               ∴S_菱形AEPM=EP×EN=EF×EN=S  _EMBF.

（1）先證明AEPM為平行四邊形，再證得EA=EP最后得出結論

（2）設P為EF中點，進行求證