Question

【題目】如圖，在△ABC中，以點AB為直徑的⊙O分別與AC，BC交于點E，D，且BD=CD．

（1）求證：∠B＝∠C ．

（2）過點D作DF⊥OD，過點F作FH⊥AB．若AB=5，CD=，求AH的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據線段垂直平分線和等腰三角形的性質可得結論；

（2）根據題意可知OD是△ABC的中位線，即OD∥AC，故DF⊥AC，根據圓周角定理AD⊥BC，可知△DCF∽△ACD，進而可求得CF=1，DF=2，AF=4， 過點D作DM⊥AB，可知∠CFD＝∠BMD＝90°,可推出△CDF≌△BDM，即可得CF=BM=1，OM=，

又根據△AFH∽△ODM，可得，，

（1）證明：連結AD.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°,

∴AD⊥BC，

∵BD=CD

∴AC=AB

∴∠B＝∠C.

（2）∵AO=BO，BD=CD

∴OD是△ABC的中位線

∴OD∥AC

∵DF⊥OD

∴DF⊥AC，

∵AD⊥BC

∴△DCF∽△ACD

∵AC=AB=5，CD=，

∴CF=1，DF=2

∴AF=4，

過點D作DM⊥AB

∴∠CFD＝∠BMD＝90°,

∴△CDF≌△BDM

∴CF=BM=1，OM=，

又∵△AFH∽△ODM，

∴，，.