Question

在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE，且BE=2AE，BD是∠EBC的平分線．點P從點E出發沿射線ED運動，過點P作PQ∥BD交直線BE于點Q．
（1）當點P在線段ED上時（如圖1），求證：BE=PD+

3

3

PQ；
（2）當點P在線段ED的延長線上時（如圖2），請你猜想BE，PD，

3

3

PQ三者之間的數量關系（直接寫出結果，不需說明理由）；
（3）當點P運動到線段ED的中點時（如圖3），連接QC，過點P作PF⊥QC，垂足為F，PF交BD于點G．若BC=12，求線段PG的長．

Answer 1

分析：（1）根據BE=2AE，BD是∠EBC的平分線可知∠ABE=30°，通過PQ∥BD，得到EQ=EP．過點E作EM⊥QP垂足為M構造直角三角形，利用三角函數或直角三角形的三邊關系得到PE=

3

3

PQ．那么BE=DE=PD+PE=PD+

3

3

PQ；
（2）直接有（1）中的思路和圖形上線段之間的關系可猜得BE=

3

3

PQ-PD；
（3）先連接PC交BD于點N，構造直角三角形，利用三角函數求得∠DPC=60°，再證明△PNG∽△QPC，利用其比例線段可求得PG=

2 21

3

．

解答：證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形．
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AD∥BC．
∴∠EDB=∠DBC．
∵BE=2AE．
∴∠ABE=30°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60度．
∵BD是∠EBC的平分線．
∴∠EBD=∠DBC=

1

2

∠EBC=∠EDB=30度．
∴EB=ED．
∵PQ∥BD．
∴∠EQP=∠EBD，∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°．
∴EQ=EP．
過點E作EM⊥QP垂足為M．
∴PQ=2PM．
∵PM=PE•cos∠EPM=PE•cos30°=

3

2

PE．
∴PE=

3

3

PQ．（1分）
∵BE=DE=PD+PE，∴BE=PD+

3

3

PQ．（2分）

（2）解：當點P在線段ED的延長線上時，猜想：BE=

3

3

PQ-PD．（4分）

（3）解：連接PC交BD于點N（如圖3）
∵點P是線段ED的中點，BE=DE=2AE，BC=12．
∴EP=PD=4．
∵DC=BC•tan30°=4

3

．
∴PC=

PD2+DC2

=8，BD=

BC2+DC2

=8

3

．
∴cos∠DPC=

PD

PC

=

1

2

．
∴∠DPC=60度．
∵PQ∥BD，
∴PQ=

1

2

BD=4

3

．
∵∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°，∠PND=∠PNG=90度．
∴PN=

1

2

PD=2，QC=

PQ2+PC2

=4

7

．（5分）
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC．
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PND=∠QPG=90°．
∴△PNG∽△QPC．（6分）
∴

PG

QC

=

PN

QP

．
∴PG=

2×4 7

4 3

=

2 21

3

．（7分）

點評：主要考查了角平分線的性質和矩形的性質以及相似三角形的性質．解題的關鍵是能夠通過作輔助線構造直角三角形，利用三角函數或直角三角形的特殊性質以及相似三角形中的成比例線段求位置線段的長度或比值．