Question

如圖所示，△OAB是邊長為的等邊三角形，其中O是坐標原點，頂點A在x軸的正方向上，將△OAB折疊，使點B落在邊OA上，記為B′，折痕為EF．
（1）設OB′的長為x，△OB′E的周長為C，求C關于x的函數關系式；
（2）當B′E∥y軸時，求點B′和點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，若拋物線y=-2x²+bx+c的對稱軸是直線B′E，且經過原點O，求b、c的值；
（4）當B′在OA上運動但不與O、A重合時，能否使△EB′F成為直角三角形？若能，請求出點B′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質可知BE=B′E，那么三角形OB′E的周長就等于OB′+OB，已知等邊三角形OBA的邊長，那么就可以表示出c與x的函數關系式了．
（2）當B′E∥y軸時，EB′⊥x軸，那么本題的關鍵就是求出直角三角形OB′E的兩條直角邊，可根據OE+EB′=2+，而我們還可以通過∠EOB′的正弦函數得出OE，EB′的比例關系，然后根據這兩個關系可得出OE，B′E的長，進而可求出OB′的長．也就得出了點B′和E點的坐標．
（3）利用拋物線y=-2x²+bx+c的對稱軸是直線B′E，且經過原點O，即可得出圖象對稱軸是x=1，且經過（0，0），分別求出即可；
（4）要想使三角形EB′F是直角三角形，已知∠EB′F=60°，那么只有∠B′EF和∠B′FE為直角，當∠B′EF是直角時，那么∠AEF也是直角，那么A，E，B′在一條直線上，B′與O重合，那么與已知矛盾，因此不成立，同理可得出∠B′FE是直角的情況下也不成立，因此三角形EB′F不可能是直角三角形．
解答：解：（1）∵B′和B關于EF對稱，
∴B′E=BE，
∴C=OB′+B′E+OE=OB′+BE+OE=x+OB=．

（2）當B′E∥y軸時，∠EB′O=90°．
∵△OAB為等邊三角形，
∴∠EOB′=60°，OB′=EO．
設OB′=a，則OE=2a．
在Rt△OEB′中，tan∠EOB′=，
∴B′E=B′Otan∠EOB′=；
∵B′E+OE=BE+OE=2+，
∴a=1，
∴B′（1，0），E（1，）．

（3）∵拋物線y=-2x²+bx+c的對稱軸是直線B′E，且經過原點O，
∴圖象過（0，0）點，
∴c=0，
x=-=1，
∴x=-=1，
∴b=4，
∴b的值為4，c的值為0；

（4）答：不能．
理由如下：
∵∠EB′F=∠B=60°，
∴要使△EB′F成為直角三角形，則90°角只能是∠B′EF或∠B′FE．
假設∠B′EF=90°，
∵△FB′E與△FBE關于FE對稱，
∴∠BEF=∠B′EF=90°，
∴∠BEB′=180°，
則B′、E、B三點在同一直線上，B′與O重合．
這與題設矛盾．
∴∠B′EF≠90°．
即△EB′F不能為直角三角形．
同理，∠B′FE=90°也不成立．
∴△EB′F不能成為直角三角形．
點評：此題主要考查了折疊的性質，等邊三角形的性質等知識點，根據折疊的性質得出線段和角相等是解題的關鍵．