Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發沿AB以每秒lcm的速度向點B運動，同時點D從點C出發沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．

（I）試用含t的式子表示AE、AD、DF的長；

（Ⅱ）如圖①，連接EF，求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（Ⅲ）如圖②，連接DE，當t為何值時，四邊形EBFD是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（I）AE=t，AD=12-2t，DF=t；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）當t=3時，四邊形EBFD是矩形

【解析】

（I）根據題意用含t的式子表示AE、CD，結合圖形表示出AD，根據直角三角形的性質表示出DF；

（Ⅱ）根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；

（Ⅲ）根據矩形的定義列出方程，解方程即可．

（I）由題意得，AE=t，CD=2t，

則AD=AC-CD=12-2t，

∵DF⊥BC，∠C=30°，

∴DF= CD=t；

（Ⅱ）∵∠ABC=90°，DF⊥BC，

∴AB∥DF，

∵AE=t，DF=t，

∴AE=DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（Ⅲ）當t=3時，四邊形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC=90°，∠C=30°，

∴BC=AC=6cm，

∵BE∥DF，

∴BE=DF時，四邊形EBFD是平行四邊形，即6-t=t，

解得，t=3，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形EBFD是矩形，

∴t=3時，四邊形EBFD是矩形．