Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；
（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）若拋物線頂點為D，點Q為直線AC上一動點，當△DOQ的周長最小時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+3

方法二：

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3

（2）

解：方法一：連接BC，直線BC與直線l的交點為P；

∵點A、B關于直線l對稱，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，解得：

∴直線BC的函數關系式y=﹣x+3；

當x=1時，y=2，即P的坐標（1，2）

方法二：

連接BC，

∵l為對稱軸，

∴PB=PA，

∴C，B，P三點共線時，△PAC周長最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）

（3）

解：方法一：拋物線的對稱軸為：x=﹣ =1，設M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1， ）（1，﹣ ）（1，1）（1，0）

方法二：

設M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），

∵△MAC為等腰三角形，

∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，

（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，

（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=± ，

（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，

經檢驗，t=6時，M、A、C三點共線，故舍去，

綜上可知，符合條件的點有4個，M1（1， ），M2（1，﹣ ），M3（1，1），M4（1，0）．

（4）

解：作點O關于直線AC的對稱點O交AC于H，

作HG⊥AO，垂足為G，

∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，

∴∠GHO=∠GAH，

∴△GHO∽△GAH，

∴HG2=GOGA，

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴lAC：y=3x+3，H（﹣ ， ），

∵H為OO′的中點，

∴O′（﹣ ， ），

∵D（1，4），

∴lO′D：y= x+ ，lAC：y=3x+3，

∴x=﹣ ，y= ，

∴Q（﹣ ， ）

【解析】方法一：（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可．（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點．（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．方法二：（1）略．（2）找出A點的對稱點點B，根據C，P，B三點共線求出BC與對稱軸的交點P．（3）用參數表示的點M坐標，分類討論三種情況，利用兩點間距離公式就可求解．（4）先求出AC的直線方程，利用斜率垂直公式求出OO’斜率及其直線方程，并求出H點坐標，進而求出O’坐標，求出DO’直線方程后再與AC的直線方程聯立，求出Q點坐標．