Question

【題目】如圖 1，在正方形 ABCD 中，E，F 分別是 AD，CD 上兩點，BE 交 AF 于點 G，且 DE＝CF．

（1）寫出 BE 與 AF 之間的關系，并證明你的結論；

（2）如圖 2，若 AB＝2，點 E 為 AD 的中點，求 AG 的長度。

（3）在（2）的條件下，連接 GD，試證明 GD 是∠EGF 的角平分線，并求出 GD 的長；

Answer 1

【答案】（1）BE=AF，BE⊥AF，證明見解析；（2）；（3）證明見解析；GD=.

【解析】

（1）先判斷出△BAE≌△ADF（SAS），得出BE=AF，∠ABE=∠DAF，即可得出結論；

（2）利用面積法計算即可解決問題．

（3）先利用勾股定理求出AF，進而利用面積求出DN，進而判斷出AG=DN，再判斷出DM=AG，即可得出GD是∠MGN的平分線，進而判斷出△DGN是等腰直角三角形即可得出結論．

（1）BE=AF，BE⊥AF，理由：

四邊形ABCD是正方形，

∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，

∵DE=CF，

∴AE=DE，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAE+∠AEB=90°，

∴∠BGA=90°，

∴BE⊥AF．

（2）在Rt△ABE中，∵AB=2，AE=1，

∴BE=，

∵S△ABE=ABAE=BEAG，

∴．

（3）如圖，過點D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延長線于M，

在Rt△ADF中，根據勾股定理得，，

∵S△ADF=AD×FD=AD×DN，

∴，

∵AG=，

∴AG=DN，

易證，△AEG≌△DEM（AAS），

∴AG=DM，

∴DN=DM，

∵DM⊥BE，DN⊥AF，

∴GD平分∠MGN，

∴∠DGN=∠MGN=45°，

∴△DGN是等腰直角三角形，

∴GD=DN=.