Question

明珠大劇場座落在聊城東昌湖西岸，其上部為能夠旋轉的拱形鋼結構，并且具有開啟、閉合功能，全國獨-無二，如圖1．舞臺頂部橫剖面拱形可近似看作拋物線的一部分，其中舞臺高度1.15米，臺口高度13.5米，臺口寬度29米，如圖2．以ED所在直線為x軸，過拱頂A點且垂直于ED的直線為y軸，建立平面直角坐標系．
（1）求拱形拋物線的函數關系式；
（2）舞臺大幕懸掛在長度為20米的橫梁MN上，其下沿恰與舞臺面接觸，求大幕的高度？（精確到0.01米）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線在坐標系的特殊位置，對稱軸是y軸時可設拋物線的關系式為y=ax²+c，由已知數據可確定頂點A坐標及點C坐標，可求拋物線解析式．
（2）已知MN的長度，就知道M，N兩點的橫坐標，代入拋物線解析式，求縱坐標，即為大幕的高度．
解答：解：（1）由題設可知，
OA=13.5+1.15=14.65米，OD=米．
∴A（0，14.65），C（，1.15）．
設拱形拋物線的關系式為y=ax²+c，
則，
解得
a=-，c=14.65．
所以，所求函數的關系式為
y=-x²+14.65．

（2）由MN=20米，設點N的坐標為（10，y），代入關系式，
得y=-×10²+14.65≈8.229．
∴y-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08．
即大幕的高度約為7.08米．
點評：本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．