Question

在平面直角坐標系內，已知點A和C的坐標分別為（8，0）和（5，4），過點C作CB⊥y軸于點B，點D從B出發，以每秒1個單位的速度延BO向終點O運動，點P從C出發，以每秒a（0＜a≤1.25）個單位的速度延CB向終點B運動（當D點到達O點，P點也隨之停止）．過D作DE∥AC交OA于點E，過P作PQ∥AC交OA于點，連接PD，再過E作EF∥PD交PQ于F．設P、D兩點的運動時間為t．
（1）分別求過A、C兩點的直線和過B、C、A三點的拋物線的解析式；
（2）若a=1，求t為何值時，四邊形DEFP為矩形？并求出此時直線PQ的解析式；
（3）是否存在這樣的a，t的值，使四邊形DEFP為正方形？若存在，求出此時a，t的值和正方形的面積；若不存在，說明理由；
（4）以A、O、C為頂點的△AOC中，M是AC上一動點，過M作MN∥OA交OC于N，試問，在x軸上是否存在點R，使得△MNR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A、B、C三點的坐標，利用待定系數法能確定直線AC與拋物線的解析式．
（2）首先表示出BP、BD、OD、OE四邊的長，若四邊形DEFP為矩形，那么必須滿足的條件是∠PDE是直角，此時△PBD、△DOE相似，可據此求出t的值，在求出BP的長以及點P的坐標后，利用待定系數法即可求出直線PQ的解析式（直線PQ與直線AC平行，那么它們的斜率相同，在設直線解析式時可利用這個特點）．
（3）方法同（2），不過由四邊形DEFP為正方形得出的條件變為△PBD、△DOE全等，首先由BD=OE求出t的值，再由OD=BP求出a的值；進一步能得到DP、DE的長，由此求得正方形的面積．
（4）此題需要注意兩方面：
①線段MN是底邊（此時線段MN的長是點M縱坐標的2倍）；②線段MN為腰（此時線段MN的長等于點M的縱坐標）；
解法大致相同，首先設出點M或N的縱坐標，利用△CMN、△CAO相似，求出這個縱坐標，再利用直線OC、直線AC解析式確定出點M、N的坐標后，即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，依題意，有：

8k+b=0 5k+b=4

，解得

k=- 4 3 b= 32 3

∴直線AC：y=-

4

3

x+

32

3

．
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，依題意，有：

64a+8b+c=0 c=4 25a+5b+c=4

，解得

a=- 1 6 b= 5 6 c=4

∴拋物線：y=-

1

6

x²+

5

6

x+c．

（2）過點B作BS∥AC，交x軸于點S，則AS=BC=5，OR=3，∴tan∠OBS=tan∠ODE=

3

4

．
BP=BC-CP=5-at=5-t，BD=t，OD=OB-BD=4-t，OE=

3

4

OD=3-

3

4

t；
由題意，四邊形DEFP是平行四邊形，若四邊形DEFP是矩形，所以∠PDE=90°；
∵∠PDB=∠DEO=90°-∠ODE，∠PBD=∠DOE=90°，
∴△PBD∽△DOE，得

BP

BD

=

OD

OE

即：

5-t

t

=

4

3

，解得 t=

15

7

，則P（

20

7

，4）；
由于直線PQ∥AC，設直線PQ：y=-

4

3

x+b，代入點P，得：
-

4

3

×

20

7

+b=4，解得 b=

161

21

∴若a=1，當t=

15

7

時，四邊形DEFP為矩形；此時直線PQ的解析式：y=-

4

3

x+

161

21

．

（3）同（2）可求得：△PBD≌△DOE，則 BD=OE，BP=OD；
∴

t=3- 3 4 t 5-at=4-t

，解得

t= 12 7 a= 19 12

由題意，此時a的值不在0＜a≤1.25的范圍內，所以不存在符合條件的a、t值．

（4）易求得：直線OC：y=

4

5

x；直線AC：y=-

4

3

x+

32

3

．
設點M、N的縱坐標為m，分兩種情況討論：
（Ⅰ）線段MN為等腰Rt△MNR的底邊，則 MN=2m；
由MN∥OA，得：

2m

8

=

4-m

4

，解得 m=2；
∴M（

13

2

，2）、N（

5

2

，2）
∴點R（

9

2

，0）．
（Ⅱ）線段MN為等腰Rt△MNR的腰，則 MN=m；
由MN∥OA，得：

m

8

=

4-m

4

，解得 m=

8

3

∴M（6，

8

3

）、N（

10

3

，

8

3

）
①當點N是直角頂點時，NR⊥x軸，點R（

10

3

，0）；
②當點M是直角頂點時，MR⊥x軸，點R（6，0）；
綜上，存在符合條件的點R，且坐標為（

9

2

，0）、（

10

3

，0）、（6，0）．

點評：此題考查的是動點函數問題，主要涉及了利用待定系數法確定函數解析式、矩形和正方形的性質以及等腰直角三角形的判定和性質；其中還穿插了全等、相似三角形的性質以及解直角三角形的應用；綜合性很強．在解答這道題時，對圖示的理解很重要，著重體現了數形結合的重要性．