Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸的負半軸上，點B在坐標原點，點D的坐標為（-，3），拋物線y=ax²+b．（a≠0）經過AB、CD兩邊的中點．
（1）求這條拋物線的函數解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移，過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF，設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜3），是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=2．
∴AB的中點坐標為（-，0），CD的中點坐標為（0，3），
分別代入y=ax²+b，得
，
解得：，
∴這條拋物線的函數的解析式為y=-x²+3；
（2）存在．
如圖2所示，在△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2
Sin∠C===
∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=
又AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADC與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角．
①若∠ADF=90°，∠EDF=120°-90°=30°，在△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2．
又E（t，3），F（t，-t²+3），
∴EF=3-（-t²+3）=t²
∴t²=1∵t＞0，∴t=1，
此時，==2，==2，=
又∵∠ADF=∠DEF∴△ADC∽△DEF．
②若∠DFA=90°，可證得△DEF∽△FBA，則=，
設EF=m，則FB=3-m，=即m²-3m+6=0，此方程無實數根，此時t不存在；
③由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°
∴此時t不存在．
綜上所述，存在t=1，使△ADC與△DEF相似．
分析：（1）根據已知條件求出AB和CD的中點坐標，然后利用待定系數法求該二次函數的解析式；
（2）①如圖2所示，△ADF與△DEF相似，包括三種情況，需要分類討論：
（I）若∠ADF=90°時，△ADF∽△DEF，求此時t的值；
（II）若∠DFA=90°時，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可以求得相應的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此時t不存在；
點評：本題是動線型中考壓軸題，考查了二次函數的圖象與性質的運用、待定系數法的運用、菱形的性質的運用、相似三角形的判定與性質等重要知識，難度較大，對考生能力要求很高．本題難點在于第（2）問中，需要結合△ADF與△DEF相似的三種情況，分別進行討論，避免漏解．