Question

如圖，已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的中點，連結DE.

(1)  如圖所示，觀察猜想DE是⊙O的切線嗎？并證明你的結論；

(2)  連結OE、AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形，并說明理由.

Answer 1

 解:(1). 觀察猜想DE是⊙O的切線.

證明: 如圖,連接OD、DB、OE,.

∵AB是⊙O直徑，∴∠CDB=∠ADB=90⁰.

又∵BE=CE，∴   DE=BE.

又∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE（SSS）.

∴∠ODE=∠OBE=90⁰.

 ∴DE是⊙O的切線.

(2).當∠CAB=45⁰ 時，四邊形AOED是平行四邊形.

理由是：如圖，∵CE=BE，AO=BO，∴OE∥AC.

又∵∠CAB=45⁰ ，∠ABC=90⁰.∴∠C==45⁰ .

∴AB=BC. ∴AD=DC.∴AD=DC. ∴ DE∥AB. ∴四邊形AOED是平行四邊形.

（其它解法合理,參照給分）.