Question

如圖：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AB=20cm，CD=8cm．等邊三角形PMN的邊長MN=20cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等邊三角形PMN沿AB所在的直線勻速向右移動，直到點M與點B重合為止．
（1）等邊三角形PMN在整個運動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由

 

形變為

 

形，再變為

 

形；
（2）設等邊三角形移動距離x（cm）時，等邊三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊的部分的面積為y，求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質和等腰梯形的性質即可得到答案；
（2）有四種情況：①過E作EH⊥AB于H，AH=

1

2

x，由勾股定理求出DH的長即可求出面積；②過D作DH⊥AB于H，根據平行得到關系式，即可求出DF的長，再根據梯形的面積公式即可求出面積；③過R作RW⊥AB于W，求出BF、CR、RW，根據梯形面積公式求出即可；④與②方法類似，求出高，根據面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）故答案為：等邊三角形、等腰梯形、等邊三角形．

解：（2）①當0≤x≤12時，如圖過E作EH⊥AB于H，AH=

1

2

x，由勾股定理得DH=

3

2

x，
∴y=

1

2

•x•

3

2

x=

3

4

x²；
②當12≤x≤20時，
如圖（2）過D作DH⊥AB于H，

∵AB∥CD，∠A=60°，AB=20，CD=8，
∴AH=6，
由勾股定理得：DH=6

3

，AD=12，
∵DC∥AB，
∵∠B=∠A=60°，∠ZQA=60°，
∴ZQ∥BC，
∴四邊形FQBC是平行四邊形，
∴FC=BQ=20-x，
∴DF=CD-FC=8-（20-x）=x-12，
∴y=

1

2

•（x-12+x）•6

3

=6

3

x-36

3

；
③當20≤x≤28時，如圖：
RW=DH=6

3

，AF=BG=x-20，BF=20-（x-20）=40-x，CR=8-（x-20）=28-x，
y=

1

2

（CR+BF）×RW=

1

2

×（40-x+28-x）×6

3

=-6

3

x+204

3

．
④當28≤x≤40時，與①方法類似，同法可求：y=

3

4

（x-40）²．
答：①當0≤x≤12時y與x之間的函數關系式是y=

3

4

x²；②當12≤x≤20時y與x之間的函數關系式是y=6

3

x-36

3

；③當20≤x≤28時y與x之間的函數關系式是y=-6

3

x+204

3

；④當28≤x≤40時，y與x之間的函數關系式是y=

3

4

（x-40）²．

點評：本題主要考查了勾股定理，平行線分線段成比例定理，等腰梯形的性質，等邊三角形的性質和判定，三角形的面積等知識點，解此題的關鍵是能分類討論，題型較好，有一定的難度．