Question

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，
延長BC到E，使CE=CD，
（1）（4分）不添加任何輔助線的情況下，請你至少寫出兩個與CD有關且形式不同的結論；
（2）（6分）問：BD=DE成立嗎？若成立，請你寫出相應的理由．

Answer 1

分析：（1）由BD是AC邊上的中線，可得CD=

1

2

AC，又△ABC是等邊三角形，CE=CD，所以CD=CE=

1

2

BC，從而得出CD=

1

3

BE；
（2）欲證BD=DE，只需證∠DBE=∠E，根據等邊三角形的性質及角的等量關系可證明∠DBE=∠E=30°．

解答：解：（1）∵由BD是AC邊上的中線，
∴CD=

1

2

AC；
又△ABC是等邊三角形，CE=CD，
∴CD=CE=

1

2

BC，
∴BC=2CD，
∴2CD+CD=BE，
CD=

1

3

BE；
即與CD有關且形式不同的結論為：CD=

1

2

AC，CD=

1

3

BE；

（2）BD=DE成立，
∵△ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=12∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB為△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．

點評：本題考查等腰三角形與等邊三角形的性質及三角形內角和為180°等知識．此類已知三角形邊之間的關系求角的度數的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質得出有關角的度數，進而求出所求角的度數．