Question

【題目】如圖，已知拋物線y=- x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和B，與y軸交于點C（0，3）．

(1)求此拋物線的解析式及點B的坐標；

(2)設拋物線的頂點為D，連接CD、DB、CB、AC．

①求證：△AOC∽△DCB；②在坐標軸上是否存在與原點O不重合的點P，使以P、A、C為頂點的三角形與△DCB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）①見解析， ② P1（9，0）或P2（0， ）

【解析】試題分析：（1）由C（0，3）得出拋物線解析式為y=－x2+bx+3，將點A的橫縱坐標代入解析式求出b，令y=0，解出x即可得點B 的坐標；（2）作DE⊥y軸交于點E，不難求出∠ACB=∠DCE=45°， 則∠DCB=∠AOC=90°，由勾股定理求出CD、BC=的長度，不難發現，即可證明△AOC∽△DCB；②分情況討論：1.以C為頂點的角是90°時；2.以A為頂點的角是90°時，分別求出點P的坐標即可.

試題解析：

解：（1）∵C（0，3），∴拋物線解析式為y=－x2+bx+3，

∵A（－1，0），∴－1－b+3=0，解得b=2.

∴拋物線的解析式為：y=－x2+2x+3，

令y=0，則－x2+2x+3=0，解得：x1=－1，x2=3，

∴點B的坐標是（3，0）；

（2）①證明：作DE⊥y軸交于點E，

可求得頂點D（1，4），OA=1，OC=OB=3，

∴∠OCB=45°，DE=1，EO=4，

∴EC=1，

∴∠DCE=45°，

故∠DCB=90°=∠AOC，

由勾股定理求得：CD=，BC=3，

∴，

∴△AOC∽△DCB．

②存在符合條件的點P有兩個：P1（9，0）或P2（0， ）.

1.以C為頂點的角是90°時，

∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CPO+∠OCP=90°，

∴∠CPO=∠ACO，

∴∠CPO=∠DBC，

∵∠DCB=∠ACP=90°，

∴△PCA∽△BCD，

∴∠DBC=∠APC，

∴tan∠DBC=tan∠APC，即=,

∴OP=9，

∴P（9，0）；

2.以A為頂點的角是90°時，

同理可證△AOP∽△BCD，

∴∠DBC=∠PAO，

∴tan∠DBC=tan∠PAO，即=，

∴OP=，

∴P（0， ）.

綜上可得：存在符合條件的點P有兩個：P1（9，0）或P2（0， ）.