Question

如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．
（1）當點P在AB上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度；
（2）設PH=x，GP=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：重心是三角形中線交點，它把中線分為1：2的比例，如果中線長度不變，題中的三線段長度也不變．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜邊，也是半徑是保持不變的所以線段GH保持不變；則根據直角三角形中斜邊的中線是斜邊的一半可以求得OP中線的長度，進而求得GH的長度；
（2）延長PG交OA于C，則y=

2

3

×PC；分別再直角三角形OPh和直角三角形PHC中運用兩次勾股定理即可以求出y關于x的函數解析式；
（3）分別討論GH=PG，GH=PH，PH=PG這三種情況，根據（2）中的解析式可以分別求得x的值．

解答：解：（1）當然是GH不變．
延長HG交OP于點E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH=

2

3

EH，
∵PO是半徑，它是直角三角形OPH的斜邊，它的中線等于它的一半；
∴EH=

1

2

OP
∴GH=

2

3

×（

1

2

OP）=

2

3

×（

1

2

×6）=2；

（2）延長PG交OA于C，則y=

2

3

×PC．
我們令OC=a=CH，
在Rt△PHC中，PC=

PH2+CH2

=

x2+a2

，
則y=

2

3

×

x2+a2

；
在Rt△PHO中，有OP²=x²+（2a）²=6²=36，
則a²=9-

x2

4

，
將其代入y=

2

3

×

x2+a2

得y=

2

3

×

3 4 x2+9

=

3x2+36

3

（0＜x＜6）；

（3）如果PG=GH，則y=GH=2，
解方程：x=0，
那GP不等于GH，則不合意義；
如果，PH=GH=2則可以解得：x=2；
如果，PH=PG，則x=y代入可以求得：x=

6

，
綜合上述線段PH的長是

6

或2．

點評：本題考查了重心的概念以及直角三角形與等腰三角形的性質．綜合性比較強，有一定的難度．