Question

（1）探索：如果把一個多面體的頂點數(shù)記為V，棱數(shù)記為E，面數(shù)記為F，填寫下表．

多面體	V	F	E	V+F-E
四面體
長方體
五棱柱

（2）猜想：由上面的探究你能得到一個什么結(jié)論？
（3）驗證：再找出一個多面體，數(shù)一數(shù)它有幾個頂點，幾條棱，幾個面，看看面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)是否滿足上述關(guān)系．
（4）應(yīng)用（2）的結(jié)論對所有的多面體都成立，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉證明了這個關(guān)系式，上述關(guān)系式叫做歐拉公式．根據(jù)歐拉公式，想一想會不會有一個多面體，它有10個面，30條棱，20個頂點？

Answer 1

（1）

多面體	V	F	E	V+F-E
四面體	4	4	6	2
長方體	8	6	12	2
五棱柱	10	7	15	2

（2）V+F-E=2；

（3）例如六棱柱，有頂點數(shù)為12，面數(shù)為8，棱數(shù)為18，12+8-18=2符合上述關(guān)系，所以滿足；

（4）∵不滿足歐拉公式，∴不可能．
分析：（1）四面體為三棱錐，頂點數(shù)為4，面數(shù)為4，棱數(shù)為6，V+F-E=2；長方體的頂點數(shù)為8，面數(shù)為6，棱數(shù)為12，V+F-E=2；五棱柱的頂點數(shù)為10，面數(shù)為7，棱數(shù)為15，V+F-E=2；
（2）由（1）可得V+F-E為一個定值，恒為2；
（3）例如六棱柱，有頂點數(shù)為12，面數(shù)為8，棱數(shù)為18，12+8-18=2符合上述關(guān)系；
（4）10+20-30不等于2，所以不會有．
點評：本題考查幾何體面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系．