Question

如圖3－218(1)所示，圓內接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G．

　  (1)求證陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的；

(2)如圖3－218(2)所示，若∠DOE保持120°角度不變，求證當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是△ABC的面積的．

Answer 1

(1)證明：連接OA，OC，∵點O是等邊三角形ABC的外心，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S_{四邊形OFCG}＝2S_△OFC＝S_△OAC．∵S_△OAC＝S_△ABC，∴S_{四邊形OFCG}＝S_△ABC． (2)證法1：如圖3－223(1)所示，連接OA，OB和OC，則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2．不妨設OD交BC于點F，OE交AC于點G，∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF，∴S_{四邊形OFCG}＝S_△AOC＝S_△ABC．證法2：如圖3－223(2)所示，不妨設OD交BC于點F，OE交AC于點G，作DH⊥BC，OK⊥AC，垂足分別為點H，K．在四邊形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°－90°－90°－60°＝120°，即∠1＋∠2＝120°．又∵∠GOF＝∠2＋∠3＝120°∴∠1＝∠3．∵AC＝BC，∴OH＝OK．又∠OHF＝∠OKG＝90°．∴△OFH≌△OGK，∴S_{四邊形OFCG}＝S_{四邊形OHCK}＝S_△ABC．