Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD，
∴四邊形BECD是菱形；
（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D為BA中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．
【解析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；
　　　　（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；
　　　　（3）求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．