Question

【題目】如圖，正方形的邊、在坐標軸上，點坐標為，將正方形繞點逆時針旋轉角度 ，得到正方形， 交線段于點， 的延長線交線段于點，連結、．

（1）求證：平分 ；

（2）在正方形繞點逆時針旋轉的過程中，求線段、、之間的數量關系；

（3）連結、、、，在旋轉的過程中，四邊形是否能在點G滿足一定的條件下成為矩形？若能，試求出直線的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3） .

【解析】試題分析：（1）根據旋轉和正方形的性質可以得出CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°，根據全等三角形的判定定理（HL）即可證出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠ DCG=∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；

（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG，可得出BG=DG，根據直角三角形的判定定理(HL)即可證出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH=HD,再根據線段間的關系即可得出 ；

（3）根據（2）的結論即可找出當G點為AB的中點時，四邊形AEBD為矩形，再根據正方形的性質以及點B的坐標可得出點G的坐標，設H點的坐標為 ，由此可得出，根據勾股定理即可求得 的值，即可得出點H的坐標，結合點H、G的坐標利用待定系數法即可求得直線DE的解析式.

試題解析：（1）證明：

∵正方形繞點旋轉得到正方形，

∴， ，

在和中， ，

∴≌ ，

∴ ，

即平分.

（2）由(1)證得： ≌，∴ ，

在和中， ，

∴≌ ，

∴ ，

∴ .

（3）四邊形可為矩形..

當點為中點時，四邊形為矩形．如圖， ，

由(2)證得： ，又,

則，

∴四邊形為矩形..

∵點B坐標為（6,6）,

∴ AB=6，∴,

∴點的坐標為..

設點的坐標為，則.

∵， ,

∴， ，

在中， ， ， ，由勾股定理得： ，

解得： ，

∴點的坐標為.

設直線的解析式為： ，

又直線過點 、，∴，解得： ，

∴ 直線的解析式為： .