Question

【題目】如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．

（1）求證：AC=BD；

（2）若AC=2，BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值；

（3）若ACBC等于12，請直接寫出兩圓之間圓環的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）r為；（3）12π

【解析】

（1）過O作OE⊥AB于點E，由垂徑定理可知E為CD和AB的中點，則可證得結論；

（2）連接OC、OA，由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長．在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的長．在Rt△COE中可求得OC的長；

（3）連接OA，OC，作OE⊥AB于點E，由垂徑定理可得AE=BE．由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，繼而可得OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=BCAC=12，則可求得圓環的面積．

（1）過O作OE⊥AB于點E，如圖1，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE﹣CE=BE﹣DE，∴AC=BD；

（2）連接OC、OA，如圖2．

∵AC=2，BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1．

在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16．

在Rt△COE中，由勾股定理可得：OC2=CE2+OE2=12+16=17，∴OC=，即小圓的半徑r為；

（3）連接OA，OC，作OE⊥AB于點E，如圖2，由垂徑定理可得AE=BE．

在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=（BE+CE）AC=BCAC=12，∴OA2﹣OC2=12，∴圓環的面積為：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=12π．