Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點，過點A、D分別作BC與AB的平行線，相交于點E，連結EC、AD．

（1）求證：四邊形ADCE是矩形；

（2）當∠BAC=90°時，求證：四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、先由AB=AC，點D是邊BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質得出BD=CD，AD⊥BC，再由AE∥BD，DE∥AB，得出四邊形AEDB為平行四邊形，那么AE=BD=CD，又AE∥DC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADCE是平行四邊形，又∠ADC=90°，根據有一個角是直角的平行四邊形即可證明四邊形ADCE是矩形；(2)、設AC與DE相交于點O．由DE∥AB，根據平行線的性質得出∠DOC=∠BAC=90°，即AC⊥DE，又由（1）知四邊形ADCE是矩形，根據對角線互相垂直的矩形是正方形即可證明四邊形ADCE是正方形．

試題解析：(1)、∵AB=AC，點D是邊BC的中點， ∴BD=CD，AD⊥BC， ∴∠ADC=90°．

∵AE∥BD，DE∥AB， ∴四邊形AEDB為平行四邊形， ∴AE=BD=CD， 又∵AE∥DC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形， ∵∠ADC=90°， ∴四邊形ADCE是矩形；

(2)、設AC與DE相交于點O． ∵DE∥AB，∠BAC=90°， ∴∠DOC=∠BAC=90°， 即AC⊥DE，

又∵由（1）知四邊形ADCE是矩形， ∴四邊形ADCE是正方形．